Números y operaciones: enteros, racionales y reales

🔢 En matemáticas utilizamos diferentes conjuntos numéricos
para representar cantidades, medidas y resultados de operaciones.

No todos los números tienen las mismas características. Algunos permiten
contar objetos, otros representan partes de una unidad y otros poseen
infinitas cifras decimales sin repetirse.

En esta lección estudiaremos:

• 🔵 Los números enteros.
• 🟢 Los números racionales.
• 🟣 Los números reales.

💡 Aprender a diferenciarlos te ayudará a comprender mejor las ecuaciones,
las funciones y muchas otras áreas del álgebra.

📌 Números Enteros

Los números enteros son aquellos que no tienen una parte
decimal ni fraccionaria.

Incluyen los números negativos, el cero y los números positivos:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

El conjunto de los números enteros suele representarse mediante la letra
ℤ.

🌍 ¿Dónde encontramos números enteros?

• 🌡️ Una temperatura de -5 °C.
• 🏢 La planta -2 de un aparcamiento.
• 💰 Una deuda de -50 €.
• 🎮 Una puntuación de 120 puntos.

💡 En una recta numérica, los números positivos se encuentran a la
derecha del cero y los negativos a la
izquierda.

Por ejemplo:
-5 < -2 < 0 < 3

📌 Números Racionales

Un número racional es cualquier número que puede expresarse como una fracción:

a / b

donde a y b son números enteros y b ≠ 0.

El conjunto de los números racionales se representa mediante la letra ℚ.

🍕 Fracciones

• 1/2
• -3/4
• 5/1 = 5

⚠️ Observa que un número entero también puede ser racional. Por ejemplo:

5 = 5/1

🔢 Los racionales también pueden ser decimales

Los números racionales no siempre aparecen escritos como una fracción. También pueden presentarse en forma decimal.

✅ Decimal exacto

Es un decimal que tiene un número limitado de cifras decimales.

0.75 = 3/4

1.25 = 5/4

🔁 Decimal periódico

Posee una cifra o un grupo de cifras que se repite indefinidamente.

0.333... = 1/3

2.121212... = 70/33

💡 Regla importante: si un decimal termina o presenta un patrón periódico, es un número racional.

📌 Números Reales

Los números reales incluyen todos los números que pueden situarse sobre una recta numérica.

El conjunto de los números reales se representa mediante la letra ℝ.

Dentro de los números reales encontramos:

• Los números racionales.
• Los números irracionales.

🤔 ¿Qué es un número irracional?

Es un número que no puede expresarse como una fracción de dos números enteros.

Su desarrollo decimal es infinito y no presenta un patrón periódico.

Ejemplos

• Raíces no exactas: √2 ≈ 1.414213...
• El número pi: π ≈ 3.141592...
• El número e: e ≈ 2.718281...

⚠️ No todas las raíces son irracionales. Por ejemplo: √9 = 3, que es un número entero.

🧩 ¿Cómo se relacionan estos números?

Los conjuntos numéricos no están completamente separados. Algunos están contenidos dentro de otros.

ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Esto significa que:

• Todo número entero también es racional.
• Todo número racional también es real.
• Los números irracionales también pertenecen a los números reales.

🔍 Ejemplo

El número 4 es entero.

También es racional porque podemos escribir: 4 = 4/1.

Y, como todos los racionales son reales, 4 también es un número real.

💡 Un mismo número puede pertenecer a varios conjuntos numéricos.

🛠️ Operaciones: suma, resta y multiplicación

➕ Suma

Al sumar dos números del mismo conjunto, normalmente obtenemos otro número perteneciente a ese conjunto.

-3 + 5 = 2

1/2 + 1/4 = 3/4

➖ Resta

En la resta debemos prestar especial atención al signo de cada número.

3 - 7 = -4

2.5 - 1.2 = 1.3

✖️ Multiplicación

La multiplicación de dos enteros produce otro entero y la multiplicación de dos racionales produce otro número racional.

(-3) × 4 = -12

2/3 × 3/5 = 2/5

💡 Recuerda la regla de los signos: signos iguales producen positivo y signos diferentes producen negativo.

➗ División, potencias y raíces

➗ División

La división de dos números enteros no siempre produce otro número entero.

Por ejemplo:

4 ÷ 2 = 2

Pero:

4 ÷ 3 = 4/3 = 1.333...

En este caso, el resultado es un número racional.

⚠️ No se puede dividir entre cero.

🔺 Potencias

Una potencia representa una multiplicación repetida:

2³ = 2 × 2 × 2 = 8

√ Raíces

Algunas raíces producen números enteros:

√16 = 4

Otras producen números irracionales:

√3 ≈ 1.732050...

💡 El tipo de número obtenido depende del resultado de la operación.

Visualización de Números en la Recta

📏 La recta numérica nos permite representar y comparar visualmente diferentes números reales.

Recuerda estas tres reglas:

• ⬅️ Los números situados más a la izquierda son menores.
• ➡️ Los números situados más a la derecha son mayores.
• 🎯 El cero separa los números negativos de los positivos.

🔍 Ejemplo

-5 < -2 < 0 < 1/2 < √2 < π

Aunque las fracciones, raíces y números como π se escriban de formas diferentes, todos ellos pueden representarse sobre la recta real.

💡 En la siguiente actividad podrás introducir números y comprobar aproximadamente dónde se encuentran.

Experimenta con la recta numérica

Introduce un número entre -10 y 10. También puedes escribir una fracción, una raíz cuadrada o utilizar π.